这是一个数字事实，实际上，它只是一个与数学法则有关的简单事实，因为九头蛇游戏确实也只是一个算术练习而已。我们使用示意图来演示会发生的情况，但它们都不是必需的；整个游戏完全可以利用含有许多数字的数学方式表达出来。

海格力斯最终会胜利吗？

而更加惊人的事实是，尽管海格力斯总会取得胜利，但我们无法证明海格力斯总会取得胜利。“无法证明”意味着“无法用标准的数学公理来证明”，而标准的数学公理就是我们在前面提到的皮亚诺公理。

如果海格力斯的无敌性无法被证明，那么我们怎么知道这是正确的呢？当然，这是因为这已经被证明，只不过这种证明使用了皮亚诺公理列表之外的公理。这个公理便是我之前所说的“超级公理”：数学法则是具有一致性的。（也就是说，皮亚诺公理不可能推导出矛盾的结果。）①

有个更简单的办法来证明海格力斯总会胜利。只要引入一条专门的“海格力斯公理”，其内容就是“海格力斯总会胜利”。这让对此命题的证明只需要一行字：“海格力斯总会胜利，因为这是一个公理”。从逻辑上看，这似乎无懈可击，但它永远无法说服任何人、无法说明任何事情。这种无中生有的臆造公理并不会具有本质上的正确性。

但是这样的说法的确是正确的：海格力斯要么总不能取得胜利，要么总能取得胜利。而且差不多每个人，也就是每个关注这些事情的人不可否认的是，他们只是“每个人”当中非常小的一部分相信事实上他总会取得胜利。他们相信这一点，因为有关的证明并不基于所谓的“海格力斯公理”，而是基于“超级公理”，而且“超级公理”可不是无中生有臆造出来的。“超级公理”不需要证明就是正确的。

什么使得“超级公理”不证自明呢？唯一的原因便是：我们认识到数学公理是实实在在存在的。一个随意的公理列表很可能就是前后不一致的，但数学公理则不是随机的。它们描述了真实存在的事物，即自然数体系。正因为如此，我们知道它们是具有内部一致性的；换句话说，也正因为如此，我们知道“超级公理”是正确的。

如果某一天有人发现一个无法被海格力斯打败的九头蛇，我们就得知“超级公理”是错误的，所以我们会得知数学公理是前后不一致的，自然数也不存在。但那种情况的可能性有多大？或许又是“kanoogol”分之一吧！

不完备的人类思维（1）

不完备的人类思维：计算机与人类，谁更聪明？

如果我们非要用数学方法来证明的话，那些真正已经触及或可能触及人类心灵的问题并不会像回答“人们跳跃的安全高度是多少”、“一个人在5分钟内能吃多少热狗”、“一个人可以记住圆周率小数点后多少位”、“人类目前可以到达太空多少公里”等问题那样简单。

它们会更像“一个人在5分钟内能吃多少热狗且不会让自己感到恶心”之类的问题，它们是在不同的时代、不同的社会中由不同的人得到不同的答案的问题。

托克尔·弗兰岑

哥德尔不完备性定理居然戏剧性地被用来“启发”出了两种对立的、持久的错误论调。它既被引用来“证明”人类的思维比你所期待的更狭窄，也被引用来“证明”人类的思维比你所期待的更宽广。

第一种错误论调似乎主要是受人们对“不完备性”这个词过于宽泛的解释而“启发”出的，认为“哥德尔证明了一切形式的推理都是很不充分的”。

但事实上，哥德尔只证明了：第一，就像我们所看到的那样，无论你选择哪一个（正确的）数学公理，都会有很多（正确的）命题是无法被你证明的。第二，数学本身不能用来证明自身的内部一致性。

这是因为公理系统的力量存在着明显的局限性。但这种局限性并不会影响到人类大脑的思维能力，因为人类的思维本身并不是公理系统。我们总靠类比和比喻来思考，我们总以直觉和本能为指导，我们一边前进一边改变规则。人类的思维充满了偶然性的混杂，这导致我们经常犯错误，但正是因为这样，人类的思维完全不受哥德尔不完备性定理的约束。

对第一种错误论调只说这么多就够了。第二种错误论调就更有趣了。

第二种论调是这样的：一台基于数学公理（所谓皮亚诺公理）运行的计算机，无法证明海格力斯可以击败九头蛇。①但是，因为我们都知道数学是具有一致性的，所以你和我都知道海格力斯是可以击败九头蛇的。因此，你和我都知道那些连计算机都证明不了的东西。所以，你和我的大脑比任何计算机都强大。

当我还是个孩子的时候，我有一个绝对好玩的玩具叫“第一代数码计算机”。我很高兴地看到，在销声匿迹几十年后，这款玩具又出现在了市场上。“第一代数码计算机”完全就是一台机械计算器：它利用弹簧和橡皮筋来运行，而且你必须使用一个工具来初始化它的状态。编程的办法是把细小的塑料管（从饮料吸管剪下来的）贴上合适的标签，而运行程序的办法则是推动当中的一个杠杆。计算机的背面完全暴露在外面，所以你能看到塑料管、橡皮筋互相推来推去。玩过“第一代数码计算机”的孩子可以深刻洞察到计算机的工作原理。

你可以用“第一代数码计算机”编程来设计游戏，尽管设计出来的游戏不可能太复杂。它的计数能力最多只有8位。我可以下棋（但不是绝顶高手），而且我可以准确地预计出300种可能发生的情况。这是否证明我的大脑比任何计算机都强大呢？不，这只能证明我的大脑比“第一代数码计算机”强大。

同样，海格力斯打九头蛇的游戏也只能证明你和我的大脑比某些计算机强大，并不能证明它们比任何计算机都强大。一台只能依照皮亚诺公理运转的计算机是不能得出海格力斯总是可以击败九头蛇的结论的。但一台依照皮亚诺公理和表明数学内部一致性的“超级公理”（或者就此而言，证明海格力斯总可以击败九头蛇的公理）运转的计算机可以很容易得出这样的结论。

不完备的人类思维（2）

如果你真的想要提出一个哥德尔式的命题，比如人类的思维能力比计算机的运算能力更强大，你不如把论证做得更漂亮些。下面便是一种尝试：你和我“刚刚发现”，一旦你接纳了数学公理，你就可以同样接纳“超级公理”。你可以断言，没有电脑可以产生这样的跳跃性思维。

不幸的是，针对这个命题，我们可以很容易就制造出一台能产生这样的跳跃性思维的计算机。首先，你将皮亚诺公理输入计算机。然后，你按下计算机边上的蓝色运行按钮。当按钮被按下时，一个新的公理便被加入了，其内容正是，计算机已经检验到目前已知的公理都是具有一致性的。最终，你不妨给计算机加装一条机器臂，以至于它每次需要使用一个新公理来做证明时，它都可以自己去按下那个蓝色按钮。

现在，我们已经制造出一台能够“只意识到”添加“超级公理”很合理的计算机。然后，如果有需要的话，它可以继续按下按钮，而且“只意识到”添加“超超级公理”（其内容便是包括“超级公理”在内的所有公理都是具有一致性的）也很合理。依此类推下去，它就像一个人。

然而，这里好像仍然有一点是人能做到而计算机做不到的：你和我可以意识到“终极公理”（无论按下蓝色按钮多少次，得到的公理总是具有一致性的）也很合理。但是这意味着你和我比任何计算机都强大了吗？不，这只会让我们显得比这台计算机强大。只需制造一台一按下红色按钮就可导入“终极公理”的计算机，就能证明我们并不比这台计算机强大。

依此类推。你可以告诉我思考出的任何“只意识到”的添加到你的理论里会很合适的公理，我来为计算机添加按钮以便体现这些原则。

虽然还不够完全，但这已经足以揭示第二种论调的错误之处了。我们还可以尝试用最后一搏来修复它：当然，如果我把自己加入公理的原则告诉你，你就可以制造出体现这些原则的计算机。但是，我的原则是无限的。我有一个原则，即无论你按下多少次按钮，你的理论依旧是具有一致性的。你可以再用一个绿色的按钮来表述它，但我再加入一个新原则，即无论你按下多少次绿色按钮，你的理论依旧是具有一致性的。无论你制造了多么强大的计算机，我总能找出你没有预置进计算机当中的原则。所以，没有计算机能跟我的大脑一样强大。

因此，当你使用到更高层次的原则时，把握住每一个原则的含义就更加困难了，更不用说还要确认它的正确性了。你真的确认，运用很多次很多次很多次很多次“按下蓝色按钮很合理”的原则的原则的原则的原则以后，你还能保持数学具有一致性的观点不变吗？按照托克尔·弗兰岑的话来说就是：

当我们继续制定更有力、更广泛的原则，将一个正确的理论放大为一个更丰富且正确的理论时，我们就要面对一系列问题，一系列需要用“的确如此”还是“显然不对”来回答的问题……不同的数学家、哲学家对于这些问题会给出不同的答案，甚至会有很多人说并没有明确的答案。为了设计出一个能完全模仿人类数学家的反应的机器人，我们原本应该提供给它类似的参考答案的范围。除非我们做到了这一点……否则，我们就没有理由宣称人类数学家可以证实所有机器人无法证实的内容。可是，我们其实只是成功地将机器人变得跟人类一样，而机器人在从一个影响深远的正确理论思考出更强有力的正确理论的过程中，是思维混乱的、无法确认结果的。

换言之，你的思维中能够很自然就接纳的原则很可能并不是无限的，而且只要它们不是无限的，我就可以将它们全部输入到一台计算机里去。哥德尔的理论并不能用来反驳这点。

纯粹的逻辑（1）

纯粹的逻辑：守身如玉者为何更易助长艾滋病的传播？

哲学的特征就在于，从貌似微不足道的简单事物出发，最终得出貌似自相矛盾以至于无人相信的结论。

伯特兰·罗素

数学家就像小情人。给数学家提供一丁点儿原则，他就会由此推导出一个结果并向你索取它，接下来他还会从这个结果推导出下一个同样会向你索取的结果。

贝尔纳·德·丰特奈尔（Bernard de Fontenelle）

纯粹的逻辑推理分球悖论

在数学领域，最著名的违背常理的命题便是著名的“巴拿赫–塔斯基分球悖论”：先按照你想要的任意尺寸挑选一个球，比如说足球。然后我们把它分为5部分，将各部分重新排列，最终将它们重新制作成两个与原来的球体积相同的球。再把这两个球各自重新排列、制作一遍，那么你就可以得到4个球。这样不断做下去，你肯定能把宇宙都填满。

这听起来是一个很有用的定理，尤其当你不能确认会来参加你的生日宴会的朋友总数时。你只需要按照你想要的尺寸烤一个蛋糕（要是这个定理生效的话，你甚至无须特意烤球形的蛋糕），把它切成形状合适的5份，然后把它们按照正确的方式重新组合起来，那么现在你就获得了两个蛋糕。

当然，很不幸的是，在现实世界中，我们只能找到由原子和原子周围巨大的空间组成的实实在在的物质，任何物体都不例外。“巴拿赫–塔斯基分球悖论”冲击着我们的直觉，是因为我们对它提到的所谓真实的固体的状态并无任何了解。

我们知道“巴拿赫–塔斯基分球悖论”在逻辑上是成立的，只不过我们并没有证据来证明它，更不能依靠直觉或洞察力来揭示它，而只能靠纯粹的逻辑推导来得出这样的结论，这种简单的证明是任何一位数学专业的大一新生都能理解的。反过来说，其证明只能依靠对数学法则和集合论的基本概念的掌握程度而不是我所强调的逻辑之外的理由来推导。但只要将那些基本概念作为条件，我们就能按照逻辑原理推导出“巴拿赫–塔斯基分球悖论”。

这个悖论的寓意就是，有些知识只能凭借逻辑推理来了解。这不仅适用于数学知识，还适用于我将介绍到的后文中的一些经济学范例。但我们还是先继续关注数学知识吧。

如果你想要一个简洁、漂亮且功能强大的很好的数学上的证明范例的话，你可以翻回到第三章的末尾事实上那是我所知道的最好的范例。在那一部分有一段讨论表明，有限的质数组成的列表不可能是完整的（或者，换句话说，质数有无限多个）。正如“巴拿赫–塔斯基分球悖论”，你永远无法通过纯粹的洞察力、直觉或“超感官知觉”来证明这个结论。它需要严格的证明。

举一个更令人吃惊的例子吧。从自然数里随机选择一个数，它不能被任意的平方数（1除外）整除的概率是多少呢？答案是很明确的，6/π2，或者大约。这里的π就是你在几何课上学到的圆周率那个约等于的数。像这样的数并没有什么值得人们感兴趣的地方，但π就这样突然跳到了你的面前。为什么圆的周长与直径的比居然突然出现在这样一个算术问题里呢？

证明6/π2是正确的答案，比证明质数有无限多个还要困难一些，但比证明“巴拿赫–塔斯基分球悖论”要简单一些。为了满足那些对此类内容感兴趣（而且还能良好掌握大学微积分知识）的人，我已经将自己的证明过程发布到了网上，网址是：。

纯粹的逻辑（2）

关于大肥猪的冷笑话

在数学里，纯粹的逻辑推理可以发现伟大的真理。在其他领域也是如此。例如，纯粹的逻辑无须补充任何证据可以告知我世界已经陷入重度空气污染中了。这听起来或许不足为奇。诚然，人们都不喜欢污染，但这并不能证明我们已经造成了太严重的污染。毕竟，人们都不喜欢收到账单，这也不能证明我们已经支付过太多账单了。污染，就像埋单一样，是那些我们珍视的事物（例如电力、现代建筑和乘飞机旅行）所附带的令人不愉快的副产品。确切的数目当然不会为零。