当然，《吉姆·克劳法》是由白人选民制定的，这的确属实，因此人们可能会倾向于认为该法律会有利于白人。但是这种逻辑需要建立在一种与所有经验均不一致的民主理论上。白糖补贴、烟草补贴和石油补贴都是由全美选民制定的，而且理性的人们不会认为这些方案对全美选民有利。相反，这些方案只对少数特殊的、通过施加了政治影响力来利用公众的利益集团有利。

同样，《吉姆·克劳法》带来了贸易堡垒，这的确属实；它包括了大大小小的侮辱性规定，从种族隔离制度下的喷泉所有权到按种族隔离制度分隔开的不平等的公立学校。毫无疑问，它对黑人的伤害远远大于对白人的伤害。但是这并不意味着白人曾经得利，因此就应该承担起补偿黑人在《吉姆·克劳法》下的悲惨生活的责任。

公平的戒律（6）

这里我们似乎引起了政治上的争议，但如果我们将操场上的标准应用到这一案例中，争议就可迎刃而解了。在那里，当强尼抢走了玛丽的沙斗，没人会让无辜的鲍比对玛丽作出补偿。

第九，不要向自愿捐助者索取太多。当生菜在食品杂货店里卖得更贵时，购物者会诅咒杂货店老板，但他们完全不会诅咒自己的朋友和并没有卖生菜给他们的邻居。这些满腹牢骚的人也不会去成立自己的食品杂货店并且提供低价的食品。那些自己不愿意多走一步路的人却要求杂货店老板再多走一英里去给他们采购便宜的食品。

同样，工人们会诅咒那些付给他们低工资的老板，但不会去诅咒其他那些不给他们提供工作机会的老板（和不是老板的人）。这在道义上是毫无意义的，在经济学上也是如此。雇用工人的甚至希望以低工资雇用工人的老板从市场中选择了几个工人，而且迫使其他雇用工人的老板与其展开竞争以争夺工人，这会使得工资上涨，不会下降。如果你在寻找一份高薪水的工作，那么开出低薪水的老板也为你提供了一种解决方案，他可不是引起麻烦的人。

对杂货店老板或雇工老板充满了怨恨，同时无视世界上其他那些不能给你提供便宜的生菜或好工作的人，是一种相对来说害处不大的、显示出多重道德标准的行为。但是，同样的道德本能上的混乱也在其他领域发生，而且它不会总是这样温和的。每6个月左右，在自然灾害发生后灾区常用资源缺乏时，你就会看到一些抨击把每加仑水卖到7美元、抬高其他生活必需品价格的道德沦丧的奸商的新闻。新闻主持人和政治家对这些事情表示严正谴责，但我从没有看到他们自己运送水到灾区并以每加仑7美元或任何价格提供给灾民。如果道德沦丧的奸商有责任把水的售价降到每加仑7美元以下，那么新闻主持人为什么不用承担这个责任呢？

再次考虑一下出租屋房东玛丽，她并不愿意把房子租给那些她不喜欢的人。也许你正是这些人之一。然而，当玛丽修建起一幢供出租的公寓楼而且不愿意租给你时，她仍然为你带来了一点小小的益处：通过招揽房客，她让其他房主的出租屋出现了闲置情况，并且给房地产市场带来了一点降价的压力。与这种益处相比，我不会为你干任何事情，我并没有参与房地产出租事业的计划。我跟玛丽一样不会租房子给你，我不希望通过租房子给你来获得任何报酬。但是根据法律，玛丽拒绝租房给你，这已经给你带来了一定的伤害，然而我却是完全无辜的。这听起来实在令人抓狂。

同样，小企业的老板被要求必须聘请残障人士。如果这是基于某种道义上的责任，换句话说，如果存在一种必须聘请残障人士的道义责任，那么其他人也应该被要求去开办小企业以便聘请残障人士。毕竟，当道义责任存在时，它就应该是普遍的：要么它对所有人提出要求，要么它不对任何人提出要求。

有时候，不用过于频繁，只是偶尔，一个操场上的小孩会愿意去清理垃圾。我们通常不会作出让那个小孩去清理整个操场的命令。卖给你生菜但售价昂贵的食品杂货店老板、出租房子给别人但不租给你的出租屋房东、通过雇用你的邻居而不雇用你的方式改善了你的就业机会的企业老板，所有这些人都为你带来了一点小小的益处，就像那个在操场上捡起几张糖果包装纸的小孩。希望他们为你做得更多是很好的，但要求他们为你做得更多却是无礼的。

引言

某些信念事关重大。你完全有必要坚守自己在自由意志、自由贸易等方面的信念，但请不要相信“狂踩油门会让车停下来”。知道正确处理此类事务的方法是很重要的，所以我们必须对此有所了解。

我家地下室里安装了一台热水器。我家二楼浴室里安装了淋浴喷头。那么，怎样让热水输送到喷头呢？根据一项（我在每天吃午饭的休息室里所做的）非正式调查，6个经济学博士都相信“你家有水泵”，而管道工可不会有那种错误的想法。另一方面，在管道工的世界里，贸易保护主义必然能让我们富足。毕竟我们的时间和精力都是有限的，我们只能正确地理解极少数事物，却会错误地理解多数事物。①

当正确地理解事物变得更重要时，我们尝试使用实实在在的知识来取代单纯的信念。在接下来的章节里，我会和大家谈论知识的来源：数学的洞察力、逻辑推理和证据分析。还将谈论由量子物理学引入的（也许存在的）“知识的极限”的概念。

在这个过程中，我会提到“哥德尔不完备性定理”、大数法则、数学中最违背常理的定理、确认世界正在受到超负荷的污染的理由、接受学龄前教育的重要性、互联网色情内容的影响、海森堡测不准原理及研究游戏的概率数学家关注奇妙的量子世界的理由。

永恒的数学（1）

永恒的数学：为什么我们相信数字胜过相信自己？

上帝存在，因为数学法则是前后一致的；魔鬼也存在，因为我们不能证明数学法则的一致性。

安德烈·韦伊

如果“宗教”的含义就是一个包含无法得证的声明的思想体系，那么哥德尔已经教导过我们这点，数学不仅是宗教，而且是唯一可以证明自己算得上宗教的宗教。

约翰·巴罗

真实存在的数字与数学法则

我两次计算一列数字的和，最终得到了两个不同的答案，此时我相信我肯定是计算出错了。因为我认为计算结果应该是一致的。它不可能自相矛盾。

为什么我应该相信数学而不是自己呢？下面的论点最有说服力，而且尽人皆知：数学法则肯定是具有一致性的，因为它们在逻辑上都是真实存在的，在逻辑上真实存在的论断不会相互矛盾。

要接纳这个论点，你首先必须相信数学法则在逻辑上是真实存在的。而要相信这一点，你就必须相信数学法则是实实在在的。“所有glorph都是gumbel”，我无法判断这个论点的真假，因为我们并没有定义过“glorph”的含义。“一列数字只会有一个和”，这个论点是真的，仅仅是因为数学法则是真实存在的具体事物。

我们有很多其他办法来证明数学法则具有一致性，但最简单的办法就是，既然自然数存在，那么数学法则也是真实存在的。与之相比，其他证明办法都基于那些不太能够达到不证自明境界（而且因此更加令人怀疑）的原理。如果你跟的数学研究者一样，跟的用过计算器的人一样，你就会相信数学法则的一致性，这几乎肯定是因为你发自内心地相信自然数从某种重要意义上来说是真实存在的。

诚然，“真实”这个词用在这里有些含糊。如果你想理解得更深刻一点，让我们给它下一个定义：“自然数是真实存在的”就意味着数学法则是具有一致性的。

和你一样，我也相信自然数是真实存在的；和你一样，我几乎无法找到宝贵的证据来证明这一信念。诚然，我一生都在研究数字，而且我从来没发现过前后不一致的情况。但是，证据是这么零碎且显得微不足道：我研究过的数字都是经过精心挑选的。我尝试过把一列4位、5位或6位的数字加起来，但我从来没有运算过亿万位数字的加法。然而，位数不多的数字的整体数量是可数的，亿万位数字则有无限多个，它们才是绝大多数。所以，我并没有直接证据来描述绝大多数数字的特征。

一个顽固的怀疑论者可能会得出这样的结论：因为我们没有大量的经验，所以我们无法判断它们是否表现得具有一致性，甚至我们无法判断它们是否真实存在。这种顽固的怀疑论被命名为“叶塞林–沃尔平理论”。它来自亚历山大·叶塞林–沃尔平（Alexander Yessenin-Volpin），一位偏执的数学家、一位在前苏联时代的精神病院里大写“反苏诗歌”的勇敢的持不同政见的人。根据“叶塞林–沃尔平理论”，我们应该只去关注那些“小到足够让人思考的地步”的数字。这种理论被视为“极端有限主义”（ultrafinitism），而且几乎没有数学家会去认真对待它。

为了反驳这种“极端有限主义”，主流数学家可能会反问道：“我们究竟如何来判断那些数字属于‘小到足够让人思考的地步’的范畴呢？或许一两位的数字肯定算，而30位的数字就不算。那么，界限是多少位？”

永恒的数学（2）

哈维·弗里德曼（Harvey Friedman）就是这样一位主流数学家，他还不到19岁就在数理逻辑方面作出了两大显著贡献，并且因此被斯坦福大学聘请为教授。弗里德曼曾试图批驳“叶塞林–沃尔平理论”，以下就是当时他作出的解释：

“我从2开始，询问他这个数字是否‘真实’或者能让人感到‘真实’的效果。他几乎立即表示同意。然后我询问4，他仍然同意，但略有停顿。接下来是8，他还是同意，但更加犹疑。反复这样做，直到他处理这种讨论的方式已经很明显了。当然，他已经准备好回答‘是’了，尽管他在面对2的100次方时要比面对2时犹疑得多。（2的100次方就是一个30位的数字。）除此之外，我也没办法这么快就得到这个结果。”

最后，弗里德曼和叶塞林–沃尔平达成了共识。几乎每个数学家在面对大数字的真实性时都与弗里德曼持有相同立场，几乎没有人和叶塞林–沃尔平站到一边去当“极端有限主义者”。我们不但相信数学法则，也相信代数、几何和数学的其他部分是真实可信的。但我们几乎没有丝毫逻辑理念和证据来支持这种信念。

经过深思，我们还是可以了解这种没有逻辑和证据支持的信念，这似乎并不奇怪。毕竟，蜘蛛知道如何织网，并不需要去寻找“第一定理”来推断出织网技术或者认真观察其他蜘蛛的工作过程以便推断出来。你可以辩解说蜘蛛的本能反应是下意识的，而这不能算是知识。但是，如果蜘蛛可以硬生生地开始织网，为什么人们不可以也硬生生地理解数学呢？从原则上来讲，我找不到反对人们硬生生地理解数学的理由。

那么，我们的信念必须满足一些其他的基础，然后才被划分为信仰、直觉、本能、启示或者“超感官知觉”等（我无法确认到底有多少名字用来描述这同一类事物）。其实，这一切或许正是因为人类的大脑（至少我的大脑）是由很多相连的部分组成的，这样说只是我的错觉但也可能是真理。从某种意义上来说，我对于数学法则的了解与教皇（所声称的）对于神明的了解的程度是处在同一水平线上的。我相信，关键的区别是，我是正确的，而教皇是错误的。

质疑这些自称直接了解神明的人们的一个重要原因是，他们之间存在着太多分歧，以至于无法在细节上达成一致。诚然，即便在更有限的层面上，同样的告诫也适用于类似我这样自称直接了解数学的人。数学真相容易被那些直觉敏锐的人理解，这一点已经由不同时代、不同地点的不同的人以不同的方式证实过了。公元1888年，伟大的德国数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）证明了自己的“基础命题”（Basis Theorem），这个命题标志着现代代数的创立。他通过“将无限集合当成具体的对象”这一前所未有的创举作出了证明，他的学术对手保罗·戈尔丹（Paul Gordan）对此嘲笑说：“这好像不是数学，而是神学了。”然而，这一技巧创新几年后就带来了丰硕的研究成果，甚至戈尔丹也不得不承认“神学也有用处”。

在公元1888年，希尔伯特的新技巧引起了争议，但10年后它就成了主流；今天几乎没有数学家（当然叶塞林–沃尔平除外）会怀疑它们。叶塞林–沃尔平认可的、戈尔丹认可的、希尔伯特认可的和今天我们所认可的事物之间存在着明显的代沟。我自己对于现代数学的信念，以及对于证明希尔伯特“基础命题”的技巧的信念，是非常稳固的，虽然很可能这种稳固程度赶不上我对于基本数学法则的一致性的坚信。

永恒的数学（3）

不证自明的数学公理

但是，作为数学的核心内容的数学直觉在历史上并没有发生实质性的变化。对于计数和数学法则的基本事实，毕达哥拉斯“仅仅得知”的内容与你和我今天仅仅得知的内容相同。欧几里得做证明题的思路也或多或少和我们的思路一样。此外，尽管欧几里得的很多证明在今天被认为是不够充分的，但如果当时有人向欧几里得当面指出这些不足，欧几里得还是会意识到这些证明确实不够充分。欧几里得有时候得到的结果和现代的标准答案不一样，但那并不是因为他的标准跟我们的不一样，而只是因为他犯错了。每个人都会犯错。

换句话说，我们所奉行的这些不证自明的数学真理在千百年间是几乎没有发生变化的。当我们学习数学的时候，我们挑选出这些真理并称它们为公理。数学法则当中的公理数不胜数，然而，如果你有兴趣的话，我可以把它们都为你描述一遍。（如果你不感兴趣，可以跳过接下来这一两页的内容。）

首先是最基础的4条公理：

? 0是一个自然数。

? 每个自然数都有“直接承续者”（immediate successor）。

? 两个自然数不可能会有同样的“直接承续者”。

? 0不是任何自然数的“直接承续者”。

这4条公理是最基础的，可以推导出无数条公理。以下则是另外一些公理：

? 如果偶数存在，则肯定存在最小的偶数。

? 如果质数存在，则肯定存在最小的质数。